设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则|3E-A|=_______。

admin2017-01-16 28

问题设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则|3E-A|=_______。

选项

答案2^2n-r

解析由于A为n阶实对称正交矩阵，所以A可以相似对角化，且|A|=±1。
由A可以相似对角化可知，存在可逆矩阵P，使得
P^-1AP=diag(1，1，…，1，-1，-1，…，-1)，
其中1有r个，-1有n-r个。
所以
|3E-A|=|P(3E-P^-1AP)P^-1|=|P||3E-P^-1AP||P^-1|=|3E-P^-1AP|，注意到3E-P^-1AP是对角矩阵，对角线上有r个2，n-r个4，所以
|3E-A|=2^r4^n-r=2^n-r。

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