设f(x)二阶可导,f(0)=0,且f″(x)>0.证明:对任意的a>0,b>0,有f(a+b)>f(a)+f(b).

admin2022-08-19  27

问题 设f(x)二阶可导,f(0)=0,且f″(x)>0.证明:对任意的a>0,b>0,有f(a+b)>f(a)+f(b).

选项

答案不妨设a≤b,由微分中值定理,存在ξ1∈(0,a),ξ2∈(b,a+b),使得 [*] 两式相减得f(a+b)-f(a)-f(b)=[f′(ξ2)-f′(ξ1)]a. 因为f″(x)>0,所以f′(x)单调增加,而ξ1<ξ2,所以f′(ξ2)<f′(ξ2), 故f(a+b)-f(a)-f(b)=[f′(ξ2)-f′(ξ1)a>0,即 f(a+b)>f(a)+f(b).

解析
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