设η1,η2,η3为3个n的维向量,AX=0是n元齐次方程组。则( )正确。

admin2019-08-11  50

问题 设η1,η2,η3为3个n的维向量,AX=0是n元齐次方程组。则(    )正确。

选项 A、如果η1,η2,η3都是AX=0的解,并且线性无关,则η1,η2,η3为AX=0的一个基础解系
B、如果η1,η2,η3都是AX=0的解,并且r(A)=n-3,则η1,η2,η3为AX=0的一个基础解系
C、如果η1,η2,η3等价于AX=0的一个基础解系,则它也是AX=0的基础解系
D、如果r(A)=n-3,并且AX=0每个解都可以用η1,η2,η3线性表示,则η1,η2,η3为AX=0的一个基础解系

答案D

解析 答案A缺少n-r(A)=3的条件。
答案B缺少η1,η2,η3线性无关的条件。
答案C例如η1,η2是基础解系η123,则η1,η2,η3和η1,η2等价,但是η1,η2,η3不是基础解系。
要说明答案D的正确性,就要证明η1,η2,η3都是AX=0的解,并且线性无关,方法如下:设α1,α2,α3是AX=0的一个基础解系,则由条件,α1,α2,α3可以用η1,η2,η3线性表示,于是3≥r(η1,η2,η3)=r(η1,η2,η3,α1,α2,α3)≥r(α1,α2,α3)=3,则r(η1,η2,η3)=r(η1,η2,η3,α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3)=3,
于是η1,η2,η3线性无关,并且和α1,α2,α3等价,从而都是AX=0的解。
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