若f在[0，a]上连续可微，且f(0)=0，则 ∫0a｜f(x)f’(x)｜dx≤∫0a[f’(x)]2dx．

admin2022-11-23 12

问题若f在[0，a]上连续可微，且f(0)=0，则
∫₀^a｜f(x)f’(x)｜dx≤

∫₀^a[f’(x)]²dx．

选项

答案因为 ∫₀^a｜f(x)f’(x)｜dx=∫₀^a｜f(x)｜d｜f(x)｜=[*] 又f(0)=0，f(a)=∫₀^af’(x)dx，所以∫₀^a｜f(x)f’(x)｜dx=[*](∫₀^af’(x)dx)²．由施瓦兹不等式可知， (∫₀^af’(x)dx)²=(∫₀^af’(x)·ldx)²≤(∫₀^a(f’(x))²dx)(∫₀^adx)≤a∫₀^a(f’(x))²dx．因此，∫₀^a｜f(x)f’(x)｜dx≤[*][f’(x)]²dx．

解析

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考研数学三

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