设f(x)在[a,b]上二阶可导,|f"(x)|≤M,又f(x)在(a,b)内能取到最小值,证明:|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a).

admin2022-10-12  29

问题 设f(x)在[a,b]上二阶可导,|f"(x)|≤M,又f(x)在(a,b)内能取到最小值,证明:|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a).

选项

答案由题意,存在c∈(a,b),使得f(c)为最小值,从而f’(c)=0.由拉格朗日中值定理,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得f’(c)-f’(a)=f"(ξ1)(c-a),f’(b)-f’(c)=f"(ξ2)(b-c),于是|f’(a)|=|f"(ξ1)|(c-a)≤M(c-a),|f’(b)|=|f"(ξ2)|(b-c)≤M(b-c),故|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a).

解析
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