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设向量组(I)α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,一1,a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T。试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(
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admin
2018-12-19
39
问题
设向量组(I)α
1
=(1,0,2)
T
,α
2
=(1,1,3)
T
,α
3
=(1,一1,a+2)
T
和向量组(Ⅱ)β
1
=(1,2,a+3)
T
,β
2
=(2,1,a+6)
T
,β
3
=(2,1,a+4)
T
。试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案
对矩阵(α
1
,α
2
,α
3
[*]β
1
,β
2
,β
3
)作初等行变换,有 (α
1
,α
2
,α
3
[*] β
1
,β
2
,β
3
) [*] 当a≠一1时,行列式|α
1
,α
2
,α
3
|=a+1≠0,由克拉默法则可知线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
i
(i=1,2,3)均有唯一解,此时向量组(Ⅱ)可由向量组(I)线性表示。同理,由行列式|β
1
,β
2
,β
3
|=6≠0,可知向量组(I)也可由向量组(Ⅱ)线性表示。向量组(I)与(Ⅱ)等价。 当a=一1时,有 (α
1
,α
2
,α
3
[*] β
1
,β
2
,β
3
) [*] 因为r(α
1
,α
2
,α
3
)≠r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
),所以线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
1
无解,即β
1
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示。向量组(I)与(Ⅱ)不等价。 综上所述,当a≠一1时,向量组(I)与(Ⅱ)等价;当a=一1时,向量组(I)与(Ⅱ)不等价。
解析
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考研数学二
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