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设f(x)在区间(0,+∞)上连续,且严格单调增加.试求证:F(x)=在区间(0,+∞)上也严格单调增加.
设f(x)在区间(0,+∞)上连续,且严格单调增加.试求证:F(x)=在区间(0,+∞)上也严格单调增加.
admin
2020-04-21
32
问题
设f(x)在区间(0,+∞)上连续,且严格单调增加.试求证:F(x)=
在区间(0,+∞)上也严格单调增加.
选项
答案
对第1个积分作变量代换,令[*]=u,t=ux.则 [*] 当0<x<1时,[*]>1,于是当1≤u<[*]-f(u)>0;当x>1时,0<[*]<1,于是当[*]-f(u)<0.不论哪种情形,总有F′(x)>0(当x>0且x≠1).此外易知F′(1)=0.所以当0<x<+∞时,F(x)严格单调增加.
解析
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考研数学二
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