设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=1,证明必存在ξ,η∈(a,b),使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1.

admin2017-07-10  43

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=1,证明必存在ξ,η∈(a,b),使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1.

选项

答案设F(x)=exf(x),由已知f(x)及ex在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,均满足拉格朗日中值定理条件,因此,存在ξ,η∈(a,b),使得F(B)一F(A)=ebf(b)一eaf(a)=F’(η)(b一a)=eη[f’(η)+f(η)](b一a)及 eb一ea=eξ(b一a).将以上两式相比,且由f(a)=f(b)=1,整理后有eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1.

解析
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