设n元实二次型 f(x1,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn—1+an—1xn)2+(xn+anx1)2,其中a1,…,an均为实数。试问:当a1,…,an满足何种条件时,二次型f是正定的。

admin2019-03-23  49

问题 设n元实二次型
f(x1,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn—1+an—1xn)2+(xn+anx1)2,其中a1,…,an均为实数。试问:当a1,…,an满足何种条件时,二次型f是正定的。

选项

答案依题意知,对任意的x1,…,xn,均有f≥0,易知当且仅当下列齐次线性方程组只有零解时,二次型是正定的。 [*] 而当且仅当系数矩阵的行列式非零时,此齐次线性方程组只有零解,即 [*] 所以,当a1…an≠(—1)n时,二次型f为正定二次型。

解析
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