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  3. 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )

下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )

admin2019-07-12  20
问题 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化．
    选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化．
    选项C是秩为1的矩阵，因为｜λE-A｜=λ3-4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0．对于二重根λ=0，由秩
    r(0E-A)=r(A)=1
  可知齐次方程组(0E-A)x=0的基础解系有3-1=2个线性无关的解向量，即λ=0有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化．
    选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，-1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由秩

  可知齐次方程组(E-A)x=0只有3-2=1个线性无关的解，亦即λ=1，只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选D．
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考研数学三

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