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已知f"(x)<0,f(0)=0,试证:对任意的两正数x1和x2,恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)成立.
已知f"(x)<0,f(0)=0,试证:对任意的两正数x1和x2,恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)成立.
admin
2017-04-24
45
问题
已知f"(x)<0,f(0)=0,试证:对任意的两正数x
1
和x
2
,恒有f(x
1
+x
2
)<f(x
1
)+f(x
2
)成立.
选项
答案
不妨设x
1
≤x
2
,由拉格朗日中值定理可知 f(x
1
)一 f(0)=f’(c
1
)x
1
(0<c
1
<x
1
) f(x
1
+x
2
)一f(x
2
)=f’(c
2
)x
1
(x
2
<c
2
<x
1
+x
2
) 又f"(x)<0,则f’(x)单调减少,故f’(c
2
)<f’(c
1
),而x
1
>0 则 f(x
1
+x
2
) 一 f(x
2
)<f(x
1
)一f(0) 又f(0)=0,则 f(x
1
+x
2
)<f(x
1
)+f(x
2
) 令F(x)=f(x+x
2
) 一f(x) 则 F’(x)=f’(x+ x
2
) 一 f’(x)=x
2
f"(ξ)<0 (x<ξ<x+x
2
) 所以F(x)单调减少,从而F(x
1
)≤F(0) 即 f(x
1
+x
2
)一f(x
1
)≤f(x
2
) 一f(0)=f(x
2
) 故 f(x
1
+x
2
)≤f(x
1
)+f(x
2
).
解析
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