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(1997年试题,四)设直线,在平面π上,而平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1,一2,5),求a,b之值.
(1997年试题,四)设直线,在平面π上,而平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1,一2,5),求a,b之值.
admin
2021-01-15
20
问题
(1997年试题,四)设直线
,在平面π上,而平面π与曲面z=x
2
+y
2
相切于点(1,一2,5),求a,b之值.
选项
答案
根据题意,平面π与曲面z=x
2
+y
2
相切于点(1,一2,5)该点处曲面法向量(也就是平面π的法向量)n|(
1,-2,5
)=(2x,2y一1)|
(1,-2,5)
=(2,一4,一1),因此可得出平面π的方程为2(x一1)一4(y+2)一(z一5)=0.化简得2x一4y—z一5=0又由题设,直线z在平面π上,则将y=一b一x及z=x一3+a(一b一x)代入上式(平面π的方程),得2x一4b+4x一x+3+ab+ax一5=0即(5+a)x+4b+ab—2=0,从而5+a=0且4b+ab—2=0可解得a=一5且b=一2解析二本题亦可利用平面束求解,由已知,过直线l的平面束方程为x+ay一z一3+λ(x+y+b)=0其法向量为n
1
=(1+λ,a+λ,一1)而曲面在点(1,一2,5)处法向量n
2
=(2,一4,一1),则由,n
1
//n
2
,得[*]可解出a=一5,λ=1,又由平面π经过点(1,一2,5),因此1+(一5).(一2)一5—3+1—2+b=0;可得出b=一2
解析
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考研数学一
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