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若函数f(χ,y)对任意正实数t,满足 f(tχ,ty)=tnf(χ,y), (7.12) 称f(χ,y)为,1次齐次函数.设f(χ,y)是可微函数,证明:f(χ,y)为n次齐次函数
若函数f(χ,y)对任意正实数t,满足 f(tχ,ty)=tnf(χ,y), (7.12) 称f(χ,y)为,1次齐次函数.设f(χ,y)是可微函数,证明:f(χ,y)为n次齐次函数
admin
2018-04-18
40
问题
若函数f(χ,y)对任意正实数t,满足
f(tχ,ty)=t
n
f(χ,y), (7.12)
称f(χ,y)为,1次齐次函数.设f(χ,y)是可微函数,证明:f(χ,y)为n次齐次函数
选项
答案
设f(χ,y)是n次齐次函数,按定义,得 f(tχ,ty)=t
n
f(χ,y)([*]t>0)为恒等式.将该式两端对t求导,得 χf
1
′
(tχ,ty)+yf
2
′
(tχ,ty)=nt
n-1
f(χ,y)([*]t>0), 令t=1,则χf
χ
′
(χ,y)+yf
y
′
(χ,y)=nf(χ,y). 现设上式成立.考察φ(t)=[*],由复合函数求导法则,可得 [*] 即φ(t)为常数,φ(t)=φ(1)=f(χ,y),即f(χ,ty)=t
n
f(χ,y).
解析
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考研数学二
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