(2012试题，三) (1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)，在区间内有且仅有一个实根； (2)记(1)中的实根为xn，证明存在，并求此极限．

admin2013-12-18 55

问题 (2012试题，三)
(1)证明方程xⁿ+x^n-1+…+x=1(n为大于1的整数)，在区间

内有且仅有一个实根；
(2)记(1)中的实根为x_n，证明

存在，并求此极限．

选项

答案(1)证明：令f(x)=xⁿ+x^n-1+…+x一1，则[*]f(1)=1ⁿ+1^n-1+…+1—1=n一1>0，因此由零点定理知f(x)=0在[*]内至少有一实根．又f^’(x)=nx^n-1+(n一1)x^n-2+…+2x+1>0，[*]故f(x)在[*]上是单调递增函数，所以f(x)=0在[*]内有且仅有一个实根． (2)由题设，有f(x_n)=0，又f^’(x)=nx+(n一1)x^n-2+…+2x+1>1[*]又设f(x)=f(x)+1=xⁿ+x^n-1+…+x，则F(x_n)=1则有[*][*]由夹逼定理，有[*]

解析

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考研数学二

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