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  3. 若x＞一1，证明：当0＜α＜1时，有(1+x)α

若x＞一1，证明：当0＜α＜1时，有(1+x)α

admin2018-08-22  34
问题 若x＞一1，证明：当0＜α＜1时，有(1+x)α<1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．
选项
答案令f(x)=(1+x)α则有f’(x)=α(1+x)α-1，f"(x)=α(α一1)(1+x)α-2，由f(x)的泰勒展开式 [*] 可知当x＞-1，0＜α＜1时，α(α一1)＜0，1+ξ＞0，故[*]所以f(x)＜f(0)+f’(0)x，即 (1+x)α<1+αx． 同理可证当x＞一1，α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．
解析
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考研数学二

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