计算二重积分，其中D={(x，y)｜x2≤y≤1}。

admin2021-01-28 64

问题计算二重积分

，其中D={(x，y)｜x²≤y≤1}。

选项

答案[*]=∫_-1¹dx∫_x²¹(y-x²)^1/2d(y-x²) =(2/3)∫_-1¹(y-x²)^3/2｜_x²¹dx=(2/3)∫_-1¹(1-x²)^3/2dx=(4/3)∫₀¹(1-x²)^3/2dx， x=sint，所以(4/3)∫₀¹(1-x²)^3/2dx=(4/3)∫₀^π/2cos⁴tdt=[*]=π/4； [*]xcos(x²+y)dxdy=∫_-1¹xdx∫_x²¹cos(x²+y)dy =∫_-1¹xdx∫_x²¹cos(x²+y)d(x²+y)=∫_-1¹xsin(x²+y)｜_x²¹dx =∫_-1¹x[sin(x²)-sin2x²]dx=0。故[*]=π/4。

解析

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