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设A是三阶实对称矩阵,满足A3=2A2+5A一6E,且kE+A是正定阵,则k的取值范围是__________。
设A是三阶实对称矩阵,满足A3=2A2+5A一6E,且kE+A是正定阵,则k的取值范围是__________。
admin
2019-01-23
30
问题
设A是三阶实对称矩阵,满足A
3
=2A
2
+5A一6E,且kE+A是正定阵,则k的取值范围是__________。
选项
答案
k>2
解析
根据题设条件,则有A
3
一2A
2
一5A+6E=O。设A有特征值λ,则λ满足条件λ
3
一2λ
2
一5λ+6=0,将其因式分解可得
λ
3
一2λ
2
一5λ+6=(λ一1)(λ+2)(λ一3)=0,
因此可知矩阵A的特征值分别为l,一2,3,故kE+A的特征值分别为k+1,k一2,k+3,且当k>2时,
kE+A的特征值均为正数,故k>2。
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考研数学三
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