设A是n阶反对称矩阵. (1)证明:对任何n维列向量α,恒有αTAα=0. (2)证明:对任何非零常数c,矩阵A+cE恒可逆.

admin2017-07-26  26

问题 设A是n阶反对称矩阵.
  (1)证明:对任何n维列向量α,恒有αTAα=0.
  (2)证明:对任何非零常数c,矩阵A+cE恒可逆.

选项

答案(1)因为αTAα是1×1矩阵,是一个数,故 αTAα=(αTAα)TTATT)T=一αTAα. 所以恒有αTAα=0. (2)(反证法).如果矩阵A+cE不可逆,则齐次方程组(A+cE)x=0有非零解,设其为η, 于是有 Aη=一cη,η≠0. 左乘ηT,得 ηTAη=一cηTη≠0.与(1)矛盾. 故矩阵A+cE恒可逆.

解析
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