设f(x)在[a,b]连续,且x∈[a,b],总y∈[a,b],使得|f(y)|≤|f(x)|.试证:ξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.

admin2019-05-14  14

问题 设f(x)在[a,b]连续,且x∈[a,b],总y∈[a,b],使得|f(y)|≤|f(x)|.试证:ξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.

选项

答案反证法.若在[a,b]上f(x)处处不为零,则f(x)在[a,b]上或恒正或恒负.不失一般性,设f(x)>0,x∈[a,b],则[*]x0∈[a,b],f(x0)=[*]f(x)>0.由题设,对此x0,[*]y∈[a,b],使得f(y)=|f(y)|≤[*]|f(x0)|=[*]f(x0)<f(x0),与f(x0)是最小值矛盾.因此,[*]ξ∈[a,b],使f(ξ)=0.

解析
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