2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)=(a+b)/2ηf’(η)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)=(a+b)/2ηf’(η)．

admin2022-10-12  30
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)=(a+b)/2ηf’(η)．
选项
答案令F(x)=x2，F’(x)=2x≠0(a＜x＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(η)/F’(η)，即[f(b)-f(a)]/(b2-a2)=f’(η)/2η，整理得[f(b)-f(a)]/(b-a)=(a+b)/2ηf’(η)，再由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得[f(b)-f(a)]/(b-a)=f’(ξ)，故f’(x)=(a+b)/2ηf’(η)．
解析
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考研数学三

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