已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=ax2. 求f(x);

admin2022-09-22  37

问题 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=ax2
求f(x);

选项

答案令u=x-t,则t=x-u,dt=-du.因此 ∫0xtf(x-t)dt=∫0x(x-u)f(u)du=x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du, 从而∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=ax2可转化为 ∫0xf(t)dt+x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du=ax2. 将上式两边关于x求导,得 f(x)+∫0xf(u)du+xf(x)-xf(x)=2ax, 即 f(x)+∫0xf(u)du=2ax. 将上式两边关于x求导,得 f’(x)+f(x)=2a. 由通解公式,可求得上述一阶非齐次线性微分方程的通解为 f(x)=e-∫1dx(∫2ae∫1dxdx+C)=e-x(C+2a∫exdx) =e-x(2aex+C). 又f(0)=0,则可得C=-2a.因此 f(x)=2a(1-e-x).

解析
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