对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导,同时有f(-t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt,a>0,x∈[-a,a] 将g(x)的最小值当作a的函数,使其等于f(a)-a2-1,并求f(x).

admin2022-10-08  42

问题 对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导,同时有f(-t)=f(t),又函数
g(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt,a>0,x∈[-a,a]

将g(x)的最小值当作a的函数,使其等于f(a)-a2-1,并求f(x).

选项

答案由2∫0atf(t)dt=f(a)-a2-1 ② 将上式两边对a求导,则有 2af(a)=f’(a)-2a,即[*] 积分,得ln[f(x)+1]=x2+C。由②式知f(0)=1,C=ln2得 f(x)+1=2[*] 即f(x)=2[*]-1

解析
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