已知二次型f=2x12+3x22+332+2ax2x3(a>0)通过正交变换化成标准形f=y+2y+5y.求参数a及所用的正交变换矩阵.

admin2022-06-30  50

问题 已知二次型f=2x12+3x22+332+2ax2x3(a>0)通过正交变换化成标准形f=y+2y+5y.求参数a及所用的正交变换矩阵.

选项

答案设A=[*],则f==XTAX. A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=5, 由|A|=2(9-a2)=10得a=2,A=[*] λ1=1代入(λE-A)X=0, 由E-A=[*]得 λ1=1对应的线性无关的特征向量为a1=[*]; λ2=2代入(λE-A)X=0, 由2E-A=[*]得 λ2=2对应的线性无关的特征向量为a2=[*]; λ3=5代入(λE-A)X=0, 由5E-A=[*]得 λ3=5对应的线性无关的特征向量为a3=[*] 令γ1=[*], 则Q=[*],则XTAX[*]y12+2y22+5y32

解析
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