设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并且满足xf’(x)=f(x)+x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积为2.求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

admin2019-05-14  41

问题 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并且满足xf’(x)=f(x)+x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积为2.求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

选项

答案由题设,当x≠0时, [*] 据此并由f(x)在点x=处的连续性,得 [*] 又由已知条件 [*] 即C=4-a.因此, [*] 旋转体的体积为 [*] 得驻点a0=-5.又 [*] 故当a=-5时,旋转体体积最小.

解析
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