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设有平面光滑曲线l:x=x(t),y=y(t),z=0,t∈[α,β],以及空间光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),z=f(x(t),y(t)),t∈[α,β],t=α,t=β分别是起点与终点的参数. 若P,Q,R连续,f(x,y)有连续的偏导数,求
设有平面光滑曲线l:x=x(t),y=y(t),z=0,t∈[α,β],以及空间光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),z=f(x(t),y(t)),t∈[α,β],t=α,t=β分别是起点与终点的参数. 若P,Q,R连续,f(x,y)有连续的偏导数,求
admin
2018-06-15
39
问题
设有平面光滑曲线l:x=x(t),y=y(t),z=0,t∈[α,β],以及空间光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),z=f(x(t),y(t)),t∈[α,β],t=α,t=β分别是起点与终点的参数.
若P,Q,R连续,f(x,y)有连续的偏导数,求证:
∫
L
P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=∫
l
[P(x,yf(x,y))+
R(x,y,f(x,y))]+[Q(x,y,f(x,y))+
R(x,y,f(x,y))]dy.
选项
答案
按线积分化定积分公式得 ∫
L
P(x,y,z)dx=∫
α
β
P(x(t),y(t),f(x(t),y(t)))x’(t)dt=∫
l
P(x,y,f(x,y))dx. ∫
L
P(x,y,z)dy=∫
α
β
Q(x(t),y(t),f(x(t),y(t)))y’(t)dt=∫
l
Q(x,y,f(x,y))dy. ∫
L
P(x,y,z)dz [*] 三式相加即得证.
解析
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考研数学一
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