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设f(x)在[a,b]上连续,且x∈(a,b),证明:∫ax[f(t+s)一f(t)]dt=f(x)一f(a).
设f(x)在[a,b]上连续,且x∈(a,b),证明:∫ax[f(t+s)一f(t)]dt=f(x)一f(a).
admin
2017-07-26
36
问题
设f(x)在[a,b]上连续,且x∈(a,b),证明:
∫
a
x
[f(t+s)一f(t)]dt=f(x)一f(a).
选项
答案
由f(x)在[a,b]上连续,可知F(x)=∫
a
x
f(t)dt可导,且F’(x)=f(x). ∫
a
x
f(t+s)dt[[*]∫
a+s
x+s
f(u)du=∫
a
x+s
f(u)du一∫
a
a+s
f(u)du=F(x+s)一F(a+s). 所以 [*] =F’(x)一F’(a)=f(x)一f(a) =右边.
解析
极限中含有含参变量的积分,应先经变量替换将参数提至积分号外再计算.
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考研数学三
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