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已知，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是( )．
已知，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是( )．
admin
2021-07-27
30
问题
已知
，α
1
是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α
2
，α
3
是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是( )．
选项
A、[α
1
，-α
2
，α
3
]
B、[α
1
，α
2
+α
3
，α
2
-2α
3
]
C、[α
1
，α
3
，α
2
]
D、[α
1
+α
2
，α
1
-α
2
，α
3
]
答案
D
解析
即[Aξ
1
，Aξ
2
，Aξ
3
]=[a
1
ξ
1
，a
2
ξ
2
，a
3
ξ
3
]．可见ξ
i
是矩阵A属于特征值a
i
(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此，ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关．若ξ是属于特征值λ的特征向量，则-ξ仍是属于特征值λ的特征向量，故(A)正确．若ξ，η是属于特征值λ的特征向量，则k
1
ξ
1
+k
2
η仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α
2
，α
3
是属于λ=6的线性无关的特征向量，故α
2
+α
3
，α
2
-2α
3
仍是属于λ=6的特征向量，并且α
2
+α
3
，α
2
-2α
3
线性无关，故(B)正确．关于(C)，因为α
2
，α
3
均是λ=6的特征向量，所以α
2
，α
3
谁在前谁在后均可，即(C)正确．由于αβ，α
2
是属于不同特征值的特征向量，因此α
1
+α
2
，α
1
-α
2
不再是矩阵A的特征向量，故(D)不正确．
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考研数学二
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