[2015年] 设二次型f(x1,x2,x3)在正交交换X=PY下的标准形为2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3).若Q=(e1,一e3,e2),则(x1,x2,x3)在正交交换X=QY下的标准形为

admin2019-05-10  45

问题 [2015年]  设二次型f(x1,x2,x3)在正交交换X=PY下的标准形为2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3).若Q=(e1,一e3,e2),则(x1,x2,x3)在正交交换X=QY下的标准形为

选项 A、2y12一y22+y32  
B、2y12+y22一y32
C、2y12一y22一y32
D、2y12+y22+y32

答案A

解析 已知f经正交变换X=PY化为标准形2y12+y22一y32,即P-1AP=
显然二次型矩阵的特征值唯一,但排列的次序可以不一样,因而正交变换矩阵也不是唯一的,现特征值的排列顺序为2,一1,1.因而相应的特征向量为Q=(e1,一e3,e2),至此即可写出标准形.
因e1,一e3,e2分别为特征值2,一1,1对应的特征向量,故在正交变换X=QY下二次型f的标准形为2y12一y22+y32.仅(A)入选.
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