设直线y=aχ与抛物线y=χ2所围成的图形面积为S1,它们与直线χ=1所围成的图形面积为S2,且a<1. (1)确定a,使S1+S2达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积.

admin2017-09-15  51

问题 设直线y=aχ与抛物线y=χ2所围成的图形面积为S1,它们与直线χ=1所围成的图形面积为S2,且a<1.
    (1)确定a,使S1+S2达到最小,并求出最小值;
    (2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积.

选项

答案(1)直线y=aχ与抛物线y=χ2的交点为(0,0),(a,a2). 当<a<1时, S=S1+S2 =∫0a(aχ-χ2)dχ+∫a12-aχ)dχ =[*], 令S′=a2-[*]=0得a=[*],因为[*]>0,所以a=[*]时,S1+S2取到最小值,此时最小值为[*] 当a≤0时, [*] 因为S′=-[*](a2+1)<0,所以S(a)单调减少,故a=0时S1+S2取最小值,而S(0)=[*] 因为[*]=S(0),所以当a=[*]时,S1+S2最小? (2)旋转体的体积为Vχ=[*]

解析
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