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  3. 设f(x)在[0，+∞)上二阶可导，f(0)=0，f〞(x)＜0，当0＜a＜x＜b时，有( )

设f(x)在[0，+∞)上二阶可导，f(0)=0，f〞(x)＜0，当0＜a＜x＜b时，有( )

admin2022-05-20  33
问题 设f(x)在[0，+∞)上二阶可导，f(0)=0，f〞(x)＜0，当0＜a＜x＜b时，有(          )
选项 A、af(x)＞xf(a)
B、bf(x)＞xf(b)
C、xf(x)＞bf(b)
D、xf(x)＞af(a)
答案B
解析 令F(x)=f(x)／x(x＞0)，则
F’(x)=［xf’(x)-f(x)］／x2=｛xf’(x)-［f(x)-f(0)］｝／x2
     =［xf’(x)-xf’(ξ)］／x2=［f’(x)-f’(ξ)］／x，
其中0＜ξ＜x＜b.
    由f"(x)＜0，知f’(x)单调减少，故F’(x)＜0，从而F(x)单调减少，于是有f(x)／x＞f(b)／b，即bf(x)＞xf(b)，故B正确．
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考研数学三

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