2. 考研
  3. (Ⅰ)设函数y＝y(χ)由方程sin(χ2＋y2)＋eχ－χy2＝0所确定，求； (Ⅱ)设eχ+y＝y确定y＝y(χ)，求y′，y〞； (Ⅲ)设函数y＝f(χ，y)，其中f具有二阶导数，且f′≠1，求．

(Ⅰ)设函数y＝y(χ)由方程sin(χ2＋y2)＋eχ－χy2＝0所确定，求； (Ⅱ)设eχ+y＝y确定y＝y(χ)，求y′，y〞； (Ⅲ)设函数y＝f(χ，y)，其中f具有二阶导数，且f′≠1，求．

admin2016-10-21  29
问题 (Ⅰ)设函数y＝y(χ)由方程sin(χ2＋y2)＋eχ－χy2＝0所确定，求；
    (Ⅱ)设eχ+y＝y确定y＝y(χ)，求y′，y〞；
    (Ⅲ)设函数y＝f(χ，y)，其中f具有二阶导数，且f′≠1，求．
选项
答案(Ⅰ)将原方程两边直接对χ求导数，并注意y是z的函数，然后解出y′即可．由 (2χ＋2y．y′)cos(χ2＋y2)＋eχ－y2－2χy.y′＝0． 得y′＝[*] (Ⅱ)注意y是χ的函数，将方程两端对χ求导得 eχ+y(1＋y′)＝y′，即y′＝[*]．(这里用方程eχ+y＝y化简) 再将y′的表达式对χ求导得 y〞＝[*] 或将[*]满足的方程[*]两边对χ求导得[*]，再代入[*]的表达式，同样可求得[*]． (Ⅲ)y＝y(χ)由方程f(χ＋y)－y＝0确定，f为抽象函数，若把f(χ＋y)看成f(u)，而u＝χ＋y，y＝y(χ)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(χ＋)，及其导函数f′(χ＋y)均是χ的复合函数． 将y＝f(χ＋y)两边对χ求导，并注意y是χ的函数，f是关于χ的复合函数，有 y′＝f′.(1＋y′)，即y′＝[*](其中f′＝f′(χ＋y))． 又由y′＝(1＋y′)，f′再对χ求导，并注意y′是χ的函数，f′即f′(χ＋y)仍然是关于χ的复合函数，有 y〞＝(1＋y′)f′＋(1＋y′)(f′)′χ ＝y〞f′＋(1＋y′)f〞.(1＋y′)＝y〞f′(1＋y′)2f〞， 将y′＝[*]代入并解出y〞即得 y〞＝[*](其中f′＝f′(χ＋y)，f〞＝f〞(χ＋y))． 或直接由y′＝[*]再对χ求导，同样可求得y〞＝[*]．
解析
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考研数学二

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