已知n阶矩阵A满足A3=E. (1)证明A2-2A-3E可逆. (2)证明A2+A+2E可逆.

admin2018-11-23  12

问题 已知n阶矩阵A满足A3=E.
    (1)证明A2-2A-3E可逆.
    (2)证明A2+A+2E可逆.

选项

答案通过特征值来证明,矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值. 由于A3=E,A的特征值都满足λ3=1. (1)A2-2A-3E=(A-3E)(A+E),3和-1都不满足λ3=1,因此都不是A的特征值.于是(A-3E)和(A+E)都可逆,从而A2-2A-3E可逆. (2)设A的全体特征值为λ1,λ2,…,λn,则A2+A+2E的特征值λi2+λi+2,i=1,2,…,n. 由于λi3=1,λi或者为1,或者满足λi2+λi+1=0.于是λi2+λi+2或者为4,或者为1,总之都不是0.因此A2+A+2E可逆.

解析
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