设函数f(x)满足xf’(x)-2f(x)=-x,且由曲线y=f(x),x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D.若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小,求: (1)曲线y=f(x); (2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积.

admin2019-06-28  37

问题 设函数f(x)满足xf’(x)-2f(x)=-x,且由曲线y=f(x),x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D.若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小,求:
(1)曲线y=f(x);
(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积.

选项

答案(1)由xf’(x)-2f(x)=-x[*]f’(x)-[*]f(x)=-1[*]f(x)=x+cx2. 设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V,则 V(c)=π∫01(x+cx2)2dx [*] 因为V’’(c)=[*]>0,所以c=[*]为V(c)的最小值点,且曲线方程为f(x)=x-[*]x2. (2)f’(x)=1-[*],f’(0)=1,曲线f(x)=x-[*]x2在原点处的切线方程为y=x, 则A=∫01[x-(x-[*]x2)]dx=[*]

解析
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