设A是三阶矩阵,α,β是线性无关的三维列向量,满足|A|=0,Aα=β,Aβ=α,则行行列式| A2+E|=______;r(A+E)=______;r(A*)=______.

admin2017-06-14  53

问题 设A是三阶矩阵,α,β是线性无关的三维列向量,满足|A|=0,Aα=β,Aβ=α,则行行列式| A2+E|=______;r(A+E)=______;r(A*)=______.

选项

答案应填4;2;1.

解析 由题设条件|A|=0知A有特征值λ1=0.又由Aα=β,Aβ=α有
    A(α+β)=Aα+Aβ=β+α=1.(α+β),
    A(α—β)=Aα-Aβ=β—α=-1.(α-β)
可见A有特征值:λ2=1,λ3=-1.
故A相似于

从而

因为r(A)=2,故r(A*)=1.
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