2. 考研
  3. 设f(u，v)具有连续偏导数，且f’u(u，v)+f’v(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

设f(u，v)具有连续偏导数，且f’u(u，v)+f’v(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2019-06-29  51
问题 设f(u，v)具有连续偏导数，且f’u(u，v)+f’v(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
选项
答案由y(x)=e—2xf(x，x)，有 y’(x)=一2e—2xf(x，x)+e—2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)]， 由已知条件f’u(u，v)+f’v(u，v)=sin(u+v)eu+v，令u=x，v=x，得f’1(x，x)+f’2(x，x)=sin(2x)e2x，于是y(x)满足一阶线性微分方程 y’(x)+2y(x)=sin2x。 通解为y(x)=e—2x[∫sin2x．e2xdx+C]，由分部积分公式，可得∫sin2x．e2xdx=[*](sin2x—cos2x)+Ce—2x；C为任意实数。
解析
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考研数学二

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