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设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵.试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵.试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
admin
2018-04-15
34
问题
设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,B
T
为B的转置矩阵.试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
选项
答案
必要性:设B
T
AB为正定矩阵,则对任意的实n维列向量x≠0,有x
T
(B
T
AB)x>0,即 (Bx)
T
A(Bx)>0 于是Bx≠0.因此,取=0只有零解,从而有r(B)=n. 充分性:因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
AB,故B
T
AB为实对称矩阵.若r(B)=n,则齐次线性方程组Bx=0只有零解,从而对任意实n维列向量x≠0.有Bx≠0.又A为正定矩阵,所以对于Bx≠0,有(Bx)
T
A(Bx)=x
T
(B
T
AB)x>0.于是当x≠0时,x
T
(B
T
AB)x>0.故B
T
AB为正定矩阵.
解析
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考研数学一
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