设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及到x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2

admin2018-09-25  41

问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及到x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.

选项

答案曲线y=y(x)上点P(x,y)处的切线方程为Y-y=y’(x)(X=x),它与x轴的交点为[*]由于y’(x)>0,y(0)=1,从而y(x)>0,于是 [*] 又S2=∫0xy(t)dt,由条件2S1-S2=1,知 [*] 两边对x求导得 [*] 即yy’’=(y’)2.令p=y’,则上述方程可化为 [*] 于是y=eC2x+C2. 注意到y(0)=1,并由(*)式得y’(0)=1.由此可得C1=1,C2=0,故所求曲线的方程是y=ex

解析
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