某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V／6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖泊的水量为V／3，已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标。为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过m0／V。问至多需

admin2019-03-21 48

问题某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V／6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖泊的水量为V／3，已知1999年底湖中A的含量为5m₀，超过国家规定指标。为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过m₀／V。问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m₀以内。(注：设湖水中A的浓度是均匀的)

选项

答案设从2000年初(相应t=0)开始，第t年湖泊中污染物A的总量为m，浓度为m／V，则在时间间隔[t，t+dt]内，排入湖泊中A的量为：m₀／V．V／6(t+dt－t)=m₀／6dt，流出湖泊的水中A的量为 m／V．V／3dt=m／3dt。因而时间从t到t+dt相应地湖泊中污染物A的改变量为dm=([*])dt。由分离变量法求解： [*] 两边求积分： [*] 初始条件为m(0)=5m₀，代入初始条件得C=－9／2m₀。于是m=m₀／2(1+9e^－t／3)，要满足污染物A的含量可降至m₀内，命m=m₀，得t=6ln3。即至多需经过6ln3年，湖泊中A的含量降至m₀以内。

解析

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考研数学二

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