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已知A是3阶矩阵，ai(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aai=iai(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3。 (Ⅰ)证明：α，Aα，A2α线性无关； (Ⅱ)设P=(α，Aα，A2α)，求P—1AP．
已知A是3阶矩阵，ai(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aai=iai(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3。 (Ⅰ)证明：α，Aα，A2α线性无关； (Ⅱ)设P=(α，Aα，A2α)，求P—1AP．
admin
2015-04-30
51
问题
已知A是3阶矩阵，a
i
(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aa
i
=ia
i
(i=1，2，3)，令α=α
1
+α
2
+α
3
。
(Ⅰ)证明：α，Aα，A
2
α线性无关；
(Ⅱ)设P=(α，Aα，A
2
α)，求P
—1
AP．
选项
答案
(Ⅰ)由Aα
1
=α
1
，Aα
2
=2α
2
，Aα
3
=3α
3
，且α
1
，α
2
，α
3
非零可知，α
1
，α
2
，α
3
是A的不同特征值的特征向量，故α
1
，α
2
，α
3
线性无关． 又Aα=α
1
+2α
2
+3α
3
，A
2
α=α
1
+4α
2
+9α
3
，若k
1
α+k
2
Aα+k
3
A
2
α=0，即 k
1
(α
1
+α
2
+α
3
)+k
2
(α
1
+2α
2
+3α
3
)+ k
3
(α
1
+4α
2
+9α
3
)=0， 则 (k
1
+k
2
+k
3
)α
1
+(k
1
+2k
2
+4k
3
)α
2
+(k
1
+3k
2
+9k
3
)α
3
=0． 由α
1
，α
2
，α
3
线性无关，得齐次线性方程组 [*] 因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0，所以必有k
1
=k
2
=k
3
=0，即α，Aα，Aα线性 无关． Ⅱ因为A
3
α=α+8α+27α=6α一11Aα+6A
2
α，所以 AP=A(α，Aα，A
2
α)=(Aα，A
2
α，6α一11Aα+6A
2
α) [*]
解析
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考研数学二
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