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已知A是3阶矩阵,ai(i=1,2,3)是3维非零列向量,若Aai=iai(i=1,2,3),令α=α1+α2+α3。 (Ⅰ)证明:α,Aα,A2α线性无关; (Ⅱ)设P=(α,Aα,A2α),求P—1AP.
已知A是3阶矩阵,ai(i=1,2,3)是3维非零列向量,若Aai=iai(i=1,2,3),令α=α1+α2+α3。 (Ⅰ)证明:α,Aα,A2α线性无关; (Ⅱ)设P=(α,Aα,A2α),求P—1AP.
admin
2015-04-30
51
问题
已知A是3阶矩阵,a
i
(i=1,2,3)是3维非零列向量,若Aa
i
=ia
i
(i=1,2,3),令α=α
1
+α
2
+α
3
。
(Ⅰ)证明:α,Aα,A
2
α线性无关;
(Ⅱ)设P=(α,Aα,A
2
α),求P
—1
AP.
选项
答案
(Ⅰ)由Aα
1
=α
1
,Aα
2
=2α
2
,Aα
3
=3α
3
,且α
1
,α
2
,α
3
非零可知,α
1
,α
2
,α
3
是A的不同特征值的特征向量,故α
1
,α
2
,α
3
线性无关. 又Aα=α
1
+2α
2
+3α
3
,A
2
α=α
1
+4α
2
+9α
3
,若k
1
α+k
2
Aα+k
3
A
2
α=0,即 k
1
(α
1
+α
2
+α
3
)+k
2
(α
1
+2α
2
+3α
3
)+ k
3
(α
1
+4α
2
+9α
3
)=0, 则 (k
1
+k
2
+k
3
)α
1
+(k
1
+2k
2
+4k
3
)α
2
+(k
1
+3k
2
+9k
3
)α
3
=0. 由α
1
,α
2
,α
3
线性无关,得齐次线性方程组 [*] 因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,所以必有k
1
=k
2
=k
3
=0,即α,Aα,Aα线性 无关. Ⅱ因为A
3
α=α+8α+27α=6α一11Aα+6A
2
α,所以 AP=A(α,Aα,A
2
α)=(Aα,A
2
α,6α一11Aα+6A
2
α) [*]
解析
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考研数学二
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