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设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (1)存在c∈(0,1),使得f(c)=1—2c; (2)存在拿∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (1)存在c∈(0,1),使得f(c)=1—2c; (2)存在拿∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
admin
2018-11-22
25
问题
设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明:
(1)存在c∈(0,1),使得f(c)=1—2c;
(2)存在拿∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
选项
答案
(1)令φ(x)=f(x)一1+2x,φ(0)=一1,φ(1)=2,因为φ(0)φ(1)<0,所以存在c∈(0,1),使得φ(c)=0,于是f(c)=1—2c. (2)因为f(x)∈C[0,2],所以f(x)在[0,2]上取到最小值m和最大值M, 由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得[*] 由介值定理,存在ξ∈[0,2],使得[*] 于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
解析
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考研数学一
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