如图1-3-2所示,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分 ∫03(x2+x)f″′(x)dx。

admin2018-12-29  26

问题 如图1-3-2所示,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分
03(x2+x)f″′(x)dx。

选项

答案由f(x)三阶连续可导,且点(3,2)是其拐点可知,f(3)=2,f″(3)=0;由直线l1,l2是曲线C在点(0,0),(3,2)处的切线,且交点为(2,4)可知,f(0)=0,切线l1,l2的斜率分别为kl1=[*]=2,kl2=[*]= —2,即f′(0)=2,f′(3)= —2。于是,由分部积分法可得 ∫03(x2+x)f″′(x)dx=∫03(x2+x)df″(x)=[*]—∫03f″(x)(2x+1)dx = —∫03(2x+1)df′(x)=[*]+2∫03f′(x)dx=20。

解析
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