(2014年)设函数f(u)具有2阶连续导数，z＝f(eχcosy)满足＝(4z＋eχcosy)e2χ 若f(0)＝0，f′(0)＝0，求f(u)的表达式．

admin2019-08-01 39

问题 (2014年)设函数f(u)具有2阶连续导数，z＝f(e^χcosy)满足

＝(4z＋e^χcosy)e^2χ
若f(0)＝0，f′(0)＝0，求f(u)的表达式．

选项

答案令e^χcosy＝u，则 [*] 将以上两个式子代入[*]＝(4z＋e^χcosy)e^2χ得 f〞(u)＝4f(u)＋u 即f〞(u)－4f(u)＝U 以上方程对应的齐次方程的特征方程为r²－4＝0，特征根为r＝±2，齐次方程的通解为 f(u)＝C₁e^2u＋C₂e^－2u 设非齐次方程的特解为f^*＝au＋b，代入非齐次方程得a＝－[*]，b＝0．则原方程的通解为f(u)＝C₁e^2u＋C₂e^－2u－[*]u 由f(0)＝0，f′(0)＝0得[*]，则 f(u)＝[*](e^2u－e^－2u－4u)

解析

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考研数学二

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