设函数f0(x)在(－∞，＋∞)内连续，fn(x)＝fn－1(t)dt(n＝1，2，…)．证明：[*]fn(x)绝对收敛．

admin2019-11-25 47

问题设函数f₀(x)在(－∞，＋∞)内连续，f_n(x)＝

f_n－1(t)dt(n＝1，2，…)．
证明：[*]f_n(x)绝对收敛．

选项

答案对任意的x∈(－∞，＋∞)，f₀(t)在[0，x]或[x，0]上连续，于是存在M＞0(M与x有关)，使得｜f₀(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是｜f_n(x)｜≤[*](x－t)^n－1dt｜＝[*]｜x｜ⁿ，因为[*]＝0，所以[*]｜x｜ⁿ收敛，根据比较审敛法知[*]f_n(x)绝对收敛．

解析

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