若x>一1.证明: 当0<α<1时,有(1+x)α≤1+ax; 当α<0或α>1时,有(1+x)α≥1+αx.

admin2018-09-20  34

问题 若x>一1.证明:
当0<α<1时,有(1+x)α≤1+ax;
当α<0或α>1时,有(1+x)α≥1+αx.

选项

答案当x=0时,原不等式左边=1=右边,成立.当x≠0时,令f(x)=(1+x)a,则有f’(x)=α(1+x)α-1,f"(x)=α(α一1)(1+x)α-2. 由f(x)的泰勒展开式 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*],ξ介于0,x之间, 可知当x>一1,0<α<1时,α(α一1)<0,1+ξ>0,故[*],所以f(x)≤f(0)+f’(0)x,即 (1+x)α≤1+αx 同理可证,当x>一1,α<0或α>1时,有(1+x)α≥1+αx.

解析
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