2. 考研
  3. 设f(x)在[-a，a](a>0)上有四阶连续的导数，存在． 证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a]，使得

设f(x)在[-a，a](a>0)上有四阶连续的导数，存在． 证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a]，使得

admin2018-11-11  48
问题 设f(x)在[-a，a](a>0)上有四阶连续的导数，存在．
证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a]，使得
选项
答案上式两边积分得[*] 因为f(4)(x)在[-a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[-a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx4≤f(4)(ξ)4≤Mx4， [*] 根据介值定理，存在ξ1∈[-a，a]，使得f(4)(ξ1)=[*]，或a5f(4)(ξ1)=60∫-aaf(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ2∈[-a，a]，使得 a5f(4)(ξ1)=60∫-aaf(x)dx=120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)
解析
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考研数学二

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