已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt,当n≥2时,f(n)(0)=________.

admin2022-09-22  33

问题 已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt,当n≥2时,f(n)(0)=________.

选项

答案5·2n-1

解析 由f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt,可得
    f’(x)=2(x+1)+2f(x),f”(x)=2+2f’(x),f”’(x)=2f”(x),…
    则f(n)(x)=2f(n-1)(x)=22f(n-2)(x)=2(n-2)f”(x)(n≥2).
    而f(0)=1,f’(0)=2+2=4,f”(0)=10,
    因此f(n)(0)=5·2n-1
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/2BhRFFFM
0

最新回复(0)