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求下列旋转体的体积V: (Ⅰ)由曲线y=χ2,y=y*所围图形绕χ轴旋转所成旋转体; (Ⅱ)由曲线χ=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π),y=0所围图形绕y轴旋转的旋转体.
求下列旋转体的体积V: (Ⅰ)由曲线y=χ2,y=y*所围图形绕χ轴旋转所成旋转体; (Ⅱ)由曲线χ=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π),y=0所围图形绕y轴旋转的旋转体.
admin
2021-11-09
77
问题
求下列旋转体的体积V:
(Ⅰ)由曲线y=χ
2
,y=y
*
所围图形绕χ轴旋转所成旋转体;
(Ⅱ)由曲线χ=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π),y=0所围图形绕y轴旋转的旋转体.
选项
答案
(Ⅰ)如图3.2,交点(0,0),(1,1),则所求体积为 [*] (Ⅱ)如图3.3,所求体积为 V=2π∫
0
2πa
yχdχ=2π∫
0
2π
a(1-cost )a(1-cost)a(t-sint)a(1-cost)dt =2πa
3
∫
0
2π
(1-cost)
2
(t-sint)dt =2πa
3
∫
0
2π
(1-cost)
2
tdt-2πa
3
∫
-π
π
(1-cost)
2
sintdt =2πa
3
∫
0
2π
(1-cost)
t
tdt [*]2πa
3
∫
-π
π
[1-cos(u+π)]
2
(u+π)du =2πa∫
-π
π
(1+cosu)
2
udu+2π
2
a
3
∫
-π
π
(1+cosu)
2
du =4π
2
a
3
∫
0
π
(1+cosu)
2
du=4π
2
a
3
∫
0
π
(1+2cosu+cos
2
u)du=4π
2
a
3
(π+[*])=6π
3
a
3
. [*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/0VlRFFFM
0
考研数学二
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