设f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导,且f"(x)>0,f(0)=0,证明:在(-∞,0)和(0,+∞)都是单调增加的.

admin2019-12-26  40

问题 设f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导,且f"(x)>0,f(0)=0,证明:在(-∞,0)和(0,+∞)都是单调增加的.

选项

答案[*]x≠0.令 g(x)=xf′(x)-f(x),g(0)=-f(0)=0, g′(x)=f′(x)+xf"(x)-f′(x)=xf"(x),g′(0)=0, 当x<0时g′(x)<0;当x>0时g′(x)>0.故g(0)=0是g(x)的最小值,所以当x≠0时,g(x)>g(0)=0,从而φ′(x)>0,即φ(x)在(-∞,0)和(0,+∞)都是单调增加的.

解析
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