设A为n阶实对称矩阵，AB+BTA是正定矩阵，证明A是可逆矩阵．

admin2016-11-03 20

问题设A为n阶实对称矩阵，AB+B^TA是正定矩阵，证明A是可逆矩阵．

选项

答案由正定矩阵的定义知，对任意X≠0，有 X^T(AB+B^TA)X=X^TABX+X^TB^TAX+X^TA^TBX+(BX)^TAX =(AX)^T(BX)+(BX)^T(AX)＞0．因而对任意X≠0有AX≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，故r(A)=n，即A为可逆矩阵．

解析由题设知，对任意X≠0，有X^T(AB+B^TA)X＞0．由此可推得对任意X≠0，有AX≠0，从而A可逆．

转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/zxwRFFFM

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)