2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值是λ1＝8，λ2＝λ3＝2，矩阵A属于特征值λ1的特征向量是ξ1＝(1，k，1)T，属于特征值λ2＝λ3的一个特征向量是ξ2＝(－1，1，0)T． (Ⅰ)求参数k及A的属于特征值λ2＝λ3的另一个特征向量； (Ⅱ)

设3阶实对称矩阵A的特征值是λ1＝8，λ2＝λ3＝2，矩阵A属于特征值λ1的特征向量是ξ1＝(1，k，1)T，属于特征值λ2＝λ3的一个特征向量是ξ2＝(－1，1，0)T． (Ⅰ)求参数k及A的属于特征值λ2＝λ3的另一个特征向量； (Ⅱ)

admin2018-06-12  43
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值是λ1＝8，λ2＝λ3＝2，矩阵A属于特征值λ1的特征向量是ξ1＝(1，k，1)T，属于特征值λ2＝λ3的一个特征向量是ξ2＝(－1，1，0)T．
    (Ⅰ)求参数k及A的属于特征值λ2＝λ3的另一个特征向量；
    (Ⅱ)求矩阵A．
选项
答案(Ⅰ)因为A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交．ξ1，ξ2是A的分别属于特征值λ1，λ2＝λ3的特征向量，故有ξ1Tξ2＝0，即 －1＋k＋0＝0． 解得k＝1，从而，ξ1＝(1，1，1)T． 设矩阵A的属于特征值λ2＝λ3的另一个特征向量为ξ3＝(χ1，χ2，χ3)T．由于ξ1，ξ3是A的属于不同特征值的特征向量，故有ξ1Tξ3＝0．为使属于同一特征值λ2＝λ3的2个特征向量线性无关，进一步设ξ2Tξ30．于是有齐次线性方程组 [*] 解得方程组的基础解系为(1，1，－2)T．所以，矩阵A的属于λ2＝λ3＝2的另一个特征向量ξ3＝(1，1，－2)T． (Ⅱ)建立关于A的矩阵方程： [*] 用初等变换法求A： [*]
解析
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考研数学一

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